ЛРММ «Арт-объект»

Построим математическую модель ЛРМ. Пусть даны две точки \(A(x_A,\ y_A)\) и \(B(x_B,\ y_B)\), для этих точек даны азимуты \(\alpha\) и \(\beta\) до некой точки \(C(x,\ y)\). Задача состоит в нахождении координат точки C на основе имеющихся данных.
Примечание: Азимут определяется как угол между направлением на север и направлением на любой объект по ходу часовой стрелки.

Шаг 1. Координатная плоскость

Не знакомы с параметрическим уравнением прямой? Коротко объясним

Как задать прямую на плоскости

Прямую можно задать по-разному — например, точкой на ней и вектором, указывающим её направление ( направляющий вектор ), либо точкой и вектором, перпендикулярным прямой ( нормальный вектор ). В нашей модели удобнее первый способ: одна точка ( A или B ) и направление на объект C , заданное азимутом.

Параметрическое уравнение прямой

Пусть прямая \(m = (M_0,\ \vec{a})\), где \(M_0(x_0,\ y_0)\) и \(\vec{a} = (a_1,\ a_2)\) — некие точка и вектор. Тогда произвольная точка \(M(x,\ y)\) лежит на прямой \(m\) тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{MM_0} = t \cdot \vec{a}\). То есть при:

$$\overrightarrow{MM_0} = (x - x_0,\ y - y_0)$$

Имеем:

$$\overrightarrow{MM_0} = t \cdot \vec{a} \iff \left\{\begin{array}{l} x - x_0 = t\cdot a_1 \\ y - y_0 = t \cdot a_2\end{array}\right. \iff m:\left\{\begin{array}{l}x = x_0 + t\cdot a_1\\ y = y_0 + t \cdot a_2\end{array}\right.$$

Меняя \(t\), мы "пробегаем" всю прямую: разным значениям \(t\) соответствуют разные точки на ней. Именно эту идею мы и используем ниже — только направляющим вектором служит направление по азимуту.

Доказательство:
Рассмотрим точку A . Координаты направляющего вектора луча AC есть \(\vec{u_A} = (\sin\alpha,\ \cos\alpha)\), а параметрическое уравнение прямой a , проходящей через A с направляющим вектором \(\vec{u_A}\), имеет следующий вид:

где \(t_A\) — параметр, \(t_A > 0\) для точки C (так как C лежит на луче AC ). Аналогично для точки B : \(\vec{u_B} = (\sin\beta,\ \cos\beta)\),

где \(t_B\) — параметр, \(t_B > 0\) для точки C (так как C лежит на луче BC ).

Точка C лежит на лучах AC и BC , тогда её координаты соответствуют уравнениям:

Выразим \(t_B\) из первого уравнения:

и подставим \(t_B\) во второе уравнение:

Преобразуем выражение, выразим \(t_A\):

Тогда координаты точки C имеют вид:

Случай, когда \(\sin(\beta - \alpha) = 0\) (при \(\alpha = \beta\)) тривиален. Здесь т. C либо не существует (лучи параллельны и не пересекаются), либо C определена неоднозначно (лучи совпадают).

Что и требовалось доказать.